Egydimenziós hullámegyenlet a rezgő húrhoz

We are searching data for your request:

Forums and discussions:

Manuals and reference books:

Data from registers:

Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Az egydimenziós hullámegyenlet megoldása: elválasztási megközelítés

Kezdő egyenlet: $\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}} = 0 .$
Kiindulási és peremfeltételek: $\begin{array}{cl} w (x, 0) = f (x) és \frac{\partial w}{\partial t} (x, 0) = 0 \\ w (0, t) = 0 és w (L., t) = 0 . \end{array}$

Az elválasztási megközelítés alkalmazása $w (x, t) = x (x) \cdot T (t)$ a hullámegyenlet eredményein

\frac{1}{x} \frac{d^{2} x}{d x^{2}} = \frac{1}{T c^{2}} \frac{d^{2} T}{d t^{2}} .

Elválasztási állandónak választjuk $α$ ami két közönséges másodrendű differenciálegyenlethez vezet:

\begin{array}{rrcl} (1) & \frac{d^{2} x}{d x^{2}} - α x & = & 0 val vel x (0) = x (L.) = 0 \\ (2) & \frac{d^{2} T}{d t^{2}} - c^{2} α T & = & 0. \end{array}

Először próbálunk működni $x$ . Mert $α$ három lehetőség van:

eset 1 $α = 0$ . azután $x'' = 0$ ; így $x (x) = A. x + B.$ . A peremfeltételek listája $A. = B. = 0$ , vagyis a triviális megoldás $x (x) = 0$ vagy $w (x, t) = 0$ .
2. eset $α = λ^{2} > 0$ . azután $x (x) = A. e^{α x} + B. e^{- α x} .$ A határfeltétel $x (0) = 0$ -on teljesít $A. = - B.$ és $x (L.) = 0$ tovább $A. = 0$ , vagyis ismét a triviális megoldás $w (x, t) = 0$ .
3. eset $α = - λ^{2} < 0$ . Ez adja az oszcillációs egyenletet $x'' + λ^{2} x = 0$ , $T'' + c^{2} λ^{2} T = 0$ amelynek megoldásai $\begin{array}{rrcl} (1) & x (x) & = & A. kötözősaláta λ x + B. bűn λ x \\ (2) & T (t) & = & C. kötözősaláta c λ t + D. bűn c λ t, \end{array}$ ahol az állandók $A.$ , $B.$ , $C.$ , $D.$ amelyből meg kell határozni a perem- és kezdeti feltételeket. Tehát ebből következik $w (x, t) = x (x) \cdot T (t) = (A. kötözősaláta λ x + B. bűn λ x) \cdot (C. kötözősaláta c λ t + D. bűn c λ t) .$

Daigami
2022-03-27, 21:19:36

hogy nélkülöznénk a zseniális ötleted
Shreyas
2022-04-10, 01:41:17

Megengedem magamnak, hogy nem értek egyet veled
Malakree
2022-05-08, 14:37:13

nem-nem-nem-nincs időm itt kommunikálni veled, megyek dunu fűbe