Kémia

Lineáris közönséges elsőrendű differenciálegyenletrendszerek

Lineáris közönséges elsőrendű differenciálegyenletrendszerek


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Homogén rendszerek két változóra: példa

A következő rendszert tekintjük

y1'=y1+2y2y2'=8y1+y2.

A mátrix jelölésben a következőképpen írható:

y1'y2'=1281y1y2vagyy'(x)=A.y(x).

A következő megközelítést javasoljuk megoldásként

y1y2=b1eλxb2eλx=b1b2eλxvagyy(x)=beλx,

ahol az együtthatók b1, b2 az ismeretlen paraméter lehetséges értékeihez λ meg kell határozni. Helyettesítsük be a megközelítést a rendszerben, és szorozzuk meg mindkét oldalt e-λxazaz

λb1eλx=b1eλx+2b2eλx|e-λxλb2eλx=8b1eλx+1b2eλx|e-λx,

így egy sajátérték-egyenletet kapunk

1b1+2b2=λb18b1+1b2=λb2vagyA.b=λb.

Tehát tervezzük újra

A.b-λb=0,

ez az identitásmátrix bevezetéséből adódik

ÉN.=1001
(A.-λÉN.)b=0.

Ez egy homogén lineáris egyenletrendszer. Nem triviális megoldás b0 csak akkor létezik, ha a karakterisztikus mátrix A.-λÉN. szinguláris, azaz amikor a karakterisztikus mátrix determinánsa eltűnik

det(A.-λÉN.)=a11-λa12a21a22-λ=0.

Akkor van

1-λ281-λ=(1-λ)2-16=0.

A másodfokú egyenlet megoldása ad értékeket a paraméterekhez λ

(1-λ)=±4,λ1=-3,λ2=5.

Ha ezeket az értékeket beírjuk, akkor ez az λ=-3

[1-(-3)]b1+2b2=08b1+[1-(-3)]b2=02b1+b2=0b1=C.1,b2=-2C.1,

amellyel C.1 bármilyen állandó. A megoldás akkor az

y(1)=y1(1)y2(1)=1-2e-3x,

amellyel C.1=1 volt beállítva. Mert λ=5 ugyanúgy kapunk

[1-(5)]b1+2b2=08b1+[1-(5)]b2=02b1-b2=0b1=C.2,b2=2C.2,

amellyel C.2 még mindig tetszőleges állandó. Ez más megoldást ad

y(2)=y1(2)y2(2)=12e5x,

amellyel C.2=1 volt beállítva. Látható, hogy a és a megoldások lineárisan függetlenek egymástól, hiszen a determináns

y1(1)y1(2)y2(1)y2(2)=e-3xe5x-2e-3x2e5x=4e2x

végesnek x nem megy el. Ezért az általános megoldás a tetszőleges állandók és a tetszőleges állandók lineáris kombinációja C.1 és C.2

y(x)=C.1y(1)(x)+C.2y(2)(x).


Videó: Differenciálegyenlet rendszerek (Július 2022).


Hozzászólások:

  1. Panya

    You, maybe, were mistaken?

  2. Kajora

    Bravó, ez a nagyszerű ötlet most vésődött

  3. Dailar

    Nincs igazad. Meg tudom védeni az álláspontomat. Írj PM-et, megbeszéljük.

  4. Ciceron

    Nincs igazad. Javaslom, hogy megvitassák. Küldjön e -mailt nekem a miniszterelnöknél, beszélünk.



Írj egy üzenetet