Lineáris közönséges elsőrendű differenciálegyenletrendszerek

We are searching data for your request:

Forums and discussions:

Manuals and reference books:

Data from registers:

Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Homogén rendszerek két változóra: példa

A következő rendszert tekintjük

\begin{array}{rcl} y_{1}' & = & y_{1} + 2 y_{2} \\ y_{2}' & = & 8 y_{1} + y_{2} . \end{array}

A mátrix jelölésben a következőképpen írható:

(\begin{array}{rcl} y_{1}' \\ y_{2}' \end{array}) = (\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}) (\begin{array}{rcl} y_{1} \\ y_{2} \end{array}) vagy y' (x) = A. y (x) .

A következő megközelítést javasoljuk megoldásként

(\begin{array}{rcl} y_{1} \\ y_{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} b_{1} e^{λ x} \\ b_{2} e^{λ x} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} b_{1} \\ b_{2} \end{array}) e^{λ x} vagy y (x) = b e^{λ x},

ahol az együtthatók $b_{1}$ , $b_{2}$ az ismeretlen paraméter lehetséges értékeihez $λ$ meg kell határozni. Helyettesítsük be a megközelítést a rendszerben, és szorozzuk meg mindkét oldalt $e^{- λ x}$ azaz

\begin{array}{rcl} λ b_{1} e^{λ x} & = & b_{1} e^{λ x} + 2 b_{2} e^{λ x} | \cdot e^{- λ x} \\ λ b_{2} e^{λ x} & = & 8 b_{1} e^{λ x} + 1 b_{2} e^{λ x} | \cdot e^{- λ x}, \end{array}

így egy sajátérték-egyenletet kapunk

\begin{array}{rcl} 1 b_{1} + 2 b_{2} & = & λ b_{1} \\ 8 b_{1} + 1 b_{2} & = & λ b_{2} \end{array} vagy A. b = λ b .

Tehát tervezzük újra

A. b - λ b = 0,

ez az identitásmátrix bevezetéséből adódik

ÉN. = (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

(A. - λ ÉN.) b = 0 .

Ez egy homogén lineáris egyenletrendszer. Nem triviális megoldás $b \neq 0$ csak akkor létezik, ha a karakterisztikus mátrix $A. - λ ÉN.$ szinguláris, azaz amikor a karakterisztikus mátrix determinánsa eltűnik

det (A. - λ ÉN.) = |\begin{array}{rr} a_{11} - λ & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} - λ \end{array}| = 0 .

Akkor van

|\begin{array}{rr} 1 - λ & 2 \\ 8 & 1 - λ \end{array}| = (1 - λ)^{2} - 16 = 0.

A másodfokú egyenlet megoldása ad értékeket a paraméterekhez $λ$

(1 - λ) = \pm 4, λ_{1} = -3, λ_{2} = 5.

Ha ezeket az értékeket beírjuk, akkor ez az $λ = -3$

\begin{array}{rcl} [1 - (-3)] b_{1} + 2 b_{2} & = & 0 \\ 8 b_{1} + [1 - (-3)] b_{2} & = & 0 \end{array} \Rightarrow 2 b_{1} + b_{2} = 0 \Rightarrow b_{1} = {C.}_{1}, b_{2} = -2 {C.}_{1},

amellyel ${C.}_{1}$ bármilyen állandó. A megoldás akkor az

y^{(1)} = (\begin{array}{rcl} y_{1}^{(1)} \\ y_{2}^{(1)} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ -2 \end{array}) e^{-3 x},

amellyel ${C.}_{1} = 1$ volt beállítva. Mert $λ = 5$ ugyanúgy kapunk

\begin{array}{rcl} [1 - (5)] b_{1} + 2 b_{2} & = & 0 \\ 8 b_{1} + [1 - (5)] b_{2} & = & 0 \end{array} \Rightarrow 2 b_{1} - b_{2} = 0 \Rightarrow b_{1} = {C.}_{2}, b_{2} = 2 {C.}_{2},

amellyel ${C.}_{2}$ még mindig tetszőleges állandó. Ez más megoldást ad

y^{(2)} = (\begin{array}{rcl} y_{1}^{(2)} \\ y_{2}^{(2)} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) e^{5 x},

amellyel ${C.}_{2} = 1$ volt beállítva. Látható, hogy a és a megoldások lineárisan függetlenek egymástól, hiszen a determináns

|\begin{array}{rr} y_{1}^{(1)} & y_{1}^{(2)} \\ y_{2}^{(1)} & y_{2}^{(2)} \end{array}| = |\begin{array}{rr} e^{-3 x} & e^{5 x} \\ -2 e^{-3 x} & 2 e^{5 x} \end{array}| = 4 e^{2 x}

végesnek $x$ nem megy el. Ezért az általános megoldás a tetszőleges állandók és a tetszőleges állandók lineáris kombinációja ${C.}_{1}$ és ${C.}_{2}$

y (x) = {C.}_{1} y^{(1)} (x) + {C.}_{2} y^{(2)} (x) .

Videó: Differenciálegyenlet rendszerek (Július 2022).

Hozzászólások:

Panya
2022-04-27, 23:13:35

You, maybe, were mistaken?
Kajora
2022-05-19, 06:38:17

Bravó, ez a nagyszerű ötlet most vésődött
Dailar
2022-06-07, 16:42:12

Nincs igazad. Meg tudom védeni az álláspontomat. Írj PM-et, megbeszéljük.
Ciceron
2022-06-17, 15:53:23

Nincs igazad. Javaslom, hogy megvitassák. Küldjön e -mailt nekem a miniszterelnöknél, beszélünk.